科学家找到验证办法,无穷大

如果s等于1，即前面的调和级数，级数和就是发散的，结果是无穷大。如果是无穷大，那些方法算出来的结果没有意义，这就如同要规定被减数必须大于减数一样。对于下面这个级数，即调和级数：Z＝1/1＋1/2＋1/3＋1/4＋……无限地加下去，结果等于多少呢？看似它后面的各项越来越小，总和并不会收敛到一个有限的数，而是无穷大。

如何描述无穷大和无穷小？

这看似荒唐的结论，道出了数学和实验科学的区别。当时大家缺乏对数学一些背景知识的了解，因此无法讲得很透。这回我们学了很多数学的道理，能够讲得比较清楚了。在上面的问题中，首先涉及到数学上一个被称为“延拓”的概念。什么是延拓呢？比如我们过去做减法，2-3的结果就不是自然数了，因此最早人们只能规定，减法必须是大数减去小数，不能反过来。

但是，后来人们就在想，如果我维持减法的逻辑，能否扩展一下数的范围，看看在这样的逻辑下，得到什么结果呢？于是人们就拓展出负数，而且根据和大数减小数完全一样的逻辑，得到了-1这个结果。这就是将减法这种运算延拓到更大的定义空间。类似的，我们前面讲了，将-1的平方根定义为虚数i，也是对开方运算的“延拓”。注意，延拓的要求是计算的逻辑和原来完全相同。

你可以简单地把延拓理解为在想象的世界里，一次合乎逻辑的认知升级。上面那个问题，其实也涉及到级数（也就是数列相加）这个运算的延拓。我们在前面讲过，一个等比级数，如果比值小于1，它最终的和就是一个有限的数。但是对于下面这个级数，即调和级数：Z＝1/1＋1/2＋1/3＋1/4＋……无限地加下去，结果等于多少呢？看似它后面的各项越来越小，但是总和并不会收敛到一个有限的数，而是无穷大。

以后，人们发现，各种计算级数的方法，能够使用的前提就是，最终加起来需要是一个有限的数。如果是无穷大，那些方法算出来的结果没有意义，这就如同要规定被减数必须大于减数一样。对于上面这一类调和级数，欧拉发现稍微作一点调整，它就会收敛，比如我们计算：欧拉发现，它是一个有限的数，恰巧等于圆周率π^2/6。再接下来，欧拉把这一类的级数再次推广，让级数中的每一项可以是任意的s次方。

即整数倒数的s次方之和，这里面s可以是任何数。这个函数后来被称为了黎曼Zeta函数（并没有用欧拉的名字命名），但是它通常的解法却被称为了欧拉乘积公式。欧拉发现只要s大于1，上面这个级数就是收敛的，存在有限的答案。如果s等于1，即前面的调和级数，级数和就是发散的，结果是无穷大。当然，如果s小于1，肯定更是发散的了，因为这时的数值比调和级数要大。

于是，按照我们一般的做法，就是为这种Zeta函数画一个有意义的定义域，即s必须大于1。但是欧拉作为历史上有名的大数学家是很有想象力的。欧拉就想了，如果让s变成了负数，然后还是用s