线面平行的判定定理

展全思梦 2025-10-27 20:00:24

线面平行的判定定理

一条直线与一个平面无公共点（不相交），称为直线与平面平行。线面平行的判定定理为：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。

线面平行的判定定理

定理1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

已知：a∥b，α不包含a，α包含b，求证：a∥α

向量法证明：设a的方向向量为a，b的方向向量为b，面α的法向量为p。∵α包含b

∴b⊥p，即p·b=0∵a∥b，由共线向量基本定理可知存在一实数k使得a=kb

那么p·a=p·kb=kp·b=0 即a⊥p ∴a∥α

定理2：平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。

已知：a⊥b，b⊥α，且a不在α上。求证：a∥α

证明：设a与b的垂足为A，b与α的垂足为B。

假设a与α不平行，那么它们相交，设a∩α=C，连接BC由于不在直线上的三个点确定一个平面，因此ABC首尾相连得到△ABC

∵B∈α，C∈α，b⊥α ∴b⊥BC，即∠ABC=90°

∵a⊥b，即∠BAC=90° ∴在△ABC中，有两个内角为90°，这是不可能的事情。

∴假设不成立，a∥α。

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